titech07math 123600

18年度午後第8問複素解析

1：バルタン星人 :
2010/08/11 (Wed) 20:10:02: zについての方程式ze^(-z)-w=0の解についての
問題ですが、(3)の答えが無限大になりました。
これが間違っていないと差し当たって前提とするならば
一見、ややおかしいように見える事態が起きます。
というのも、特にzを実数に制限すると、函数xe^(-x)
は全射でも単射でもないので、逆函数は局所的にしか
ありません。従って元の方程式も大域的逆函数は
存在しない筈です。つまり、件の方程式の解φ(w)は
まず函数ze^(-z)の原点の近傍で定義された逆函数
であり、それが全平面に解析接続されるという事であり、
一方で、十分遠い点ではもはや方程式の解ではない、
という事になります。

何となく気持ちが悪い感じです。φが有限個の極ないし、
分岐点を除外した平面上で解析接続されるというのなら
すっきりしますが、全平面で級数表示されるとなると。
実解析的Cωのカテゴリーで、簡単は反例が思いつくという
事であれば教えていただきたいです。

そもそも収束半径無限大が誤りかも知れません。
2：弥の旧字体 :
2010/08/12 (Thu) 07:18:55: この問題は（２）はできたのですか？同じようなことでｚに制限を与えないと唯一解が出ない気がするのですが、バルタン星人さんの仰るとおり、ｗが実数ならｚが０に十分近くと十分遠くの２つの実数解を持つ気がするのですが…