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1：弥の旧字体
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2010/08/10 (Tue) 12:10:48
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どこかでやったことがあるような問題なのですが、どこでやったか誰か覚えていますか？
もし覚えている人がいましたら返信よろしくお願いします。
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2：sector
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2010/08/10 (Tue) 13:13:35
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どこでやったかは覚えていないけど、これならＯＫでは？
u_j＝exp(-1/(1-|2x-2j-1|^2)) [j≦x≦j+1]、ほか0
式だと分かりにくいですが、ようは軟化作用素みたいな関数で、
(i)[j,j+1]がsupportで
(ii)u_jはC∞かつグラフはjによらず同じなので、u_jもu_jの微分も一様有界
なので、条件を満たします。
また、任意のコンパクト集合Kをとってあげると、
max{|supK|,|infk|}+1より大きなNをとれば、u_jはj≧NでK上一様に0です。
しかし、実数全体ではsup(u_j)=e^(-1)なのでR上一様収束はしません。
発想は[j,j+1]で１、ほかで０になる関数列を連続微分できるように正則化してあげました。いかがでしょう？
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3：バルタン星人
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2010/08/10 (Tue) 13:16:08
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可能性があるとしたら、磯辺先生の宿題
くらいだと思いますが。こんなのありましたよね。
確か二年生後期の宿題の最後らへんでこの問題で
作る反例と似た反例を作る問題が。
函数列の収束と積分に関連した話題だったような気がしますが、
ちゃんとは覚えていないですね。
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4：バルタン星人
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2010/08/10 (Tue) 13:24:49
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u_j(x)=Arctan(x+j) ??あ
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5：弥の旧字体
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2010/08/10 (Tue) 16:27:43
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返信ありがとうございます。
ですが…誠に申し上げにくいのですが…
その前の、「一様有界ならば広義一様収束部分列を持つ」みたいな感じのところで詰まっておりまして…
もしかしてコンパクト空間上の連続関数全体は最大値ノルムで可分なバナッハ空間になるとか使いますか、
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6：バルタン星人
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2010/08/10 (Tue) 16:35:25
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アスコリ・アルツェラの定理を使いました。
一様有界かつ同程度連続ならば正規族というやつです。
同程度連続は導関数の一様有界性から出ます。
(微分積分の基本定理)
反例はsectorさんの作り方がsystematicで良いとは
思いますが、私が上に書いたような場当たり的な反例も
あります。
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7：バルタン星人
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2010/08/10 (Tue) 19:52:05
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それと、これは関係な話ですが、幾何の問題では
球面や、球面の直積上の函数の臨界点や微分のrank
などを問われる問題が多いですが、この種の問題を
解くときは、普通は局所座標は使わずに解きます。
多様体をやるときは局所座標という事が強調されるので、
失念されている人も居るかもしれません。まぁ
ここを見ている人は余り幾何の問題はやらないみたいですが。
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8：弥の旧字体
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2010/08/10 (Tue) 21:03:27
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返信ありがとうございます。
アスコリ・アルツェラの定理を確認しました。
これ使うとすぐいけますね…
なんか…あの…その…すみませんでした。