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1：弥の旧字体
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2010/08/08 (Sun) 15:02:19
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H１９の専門の[７]ですがuをBの外ではずっと０として3次元全体で可積な関数とし、フーリエ変換を用いて示したいのですが、大丈夫でしょうか？
問題点は
①与えられたuについての条件をすべて使わない。
②Bの境界（ルべーグ測度でゼロ集合だが）上では微分が出来ない
があります。
もし何かお分かりでしたら返信よろしくお願いします。
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2：バルタン星人
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2010/08/08 (Sun) 18:26:11
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これは前に解きましたね。
∇・(u∇u)=(∇u)^2+u(∇^2u)=(∇u)^2-λu^2
とストークスの定理で証明出来ます。
ストークスの定理を使う時に、上の等式を
微分形式の形で書く必要がありますが、面倒なら
直接ガウスの発散定理を使うのもありです。
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3：バルタン星人
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2010/08/08 (Sun) 18:32:49
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フーリエ変換での解法は出来るか興味があります。
②ですが、境界での微分は出来ます。記号の定義の
問題ですが、閉集合上での可微分関数の定義は
その閉集合を含むある開集合上で可微分である事です。
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4：弥の旧字体
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2010/08/08 (Sun) 20:42:32
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境界上の微分の話ですが、「閉集合上での可微分関数の定義はその閉集合を含むある開集合上で可微分である事です。」とありますが、これは可微分な拡張関数が存在するということで、適当な拡張が必ず境界でも可微分というわけではないですよね。多分
uがフーリエ変換可能で、しかもR＾３上全体で二階微分可能なものに拡張できればなんでもよいのですが…
後uが常に０でないという条件はuのフーリエ変換が０でないことのために必要でしたね。
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5：バルタン星人
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2010/08/08 (Sun) 20:58:55
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これは可微分な拡張関数が存在するということで、適当な拡張が必ず境界でも可微分というわけではないですよね
??何故でしょうか。
uがフーリエ変換可能で、しかもR＾３上全体で二階微分可能なものに拡張できればなんでもよいのですが…
そのままBの外で0にしたもので良いと思いますが…
境界での微分は定義からあるはずです。
Bの閉包を含む開集合は、当然Bの境界も含んでいる
ので、微分出来ると思うんですが。
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6：弥の旧字体
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2010/08/09 (Mon) 11:10:36
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閉集合上の可微分というのは、1次元でいうところの境界で、片側微分可能ではないのですか？
あと二階微分可能にならないといけない、つまり微分したものが連続にならないといかんと思うのですが、なるのでしょうか？
Bの外を０とした場合は、微分がBの外部では０となりますが、このとき境界の微分が０にならないと、微分したものが連続にならないような…もしBの境界上の微分がすでに与えられえているのならば、それが０でないと即おじゃんに…
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7：バルタン星人
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2010/08/09 (Mon) 13:55:55
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あれは別の定義だと思います。少なくとも、私が知る限り
「閉集合Aで可微分」の定義は、「Aを含むある
開集合Uの上で可微分」です。これ以外の定義を使っている
教科書は見た事がありません。唯一例外を挙げるとすれば
大学一年レベルの教科書には、閉区間で可微分という
定義に、片側微分可能を使ってるくらいです。
うまく台がコンパクトな関数に拡張したいならば、
一の分割を使ってBの境界と、uが定義されている
開集合Uの境界に至る「隙間」で一の分割を使って変形すれば
良いと思いますが。
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8：バルタン星人
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2010/08/09 (Mon) 14:00:52
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ただ私が言ったのは厳密には閉集合上での正則関数の
定義です。これの定義に、閉集合上の境界の点に
ついて、内側から近づく任意の点列について
微分の定義式が収束するという条件で定義している
教科書は見た事がないという意味です。