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1：弥の旧字体
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2010/08/08 (Sun) 14:48:36
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この問題できた方はいますか？（１）はあa=<1のときはfatouの補題でlimを中に入れて発散することを示せますが、a>1の時は、(1+x/n)^n<exp(x)で抑えられることを使ったのですが上の不等式は自明でしょうか？というかそもそもすべてのｘで成立しますか？
(2)については、恐らく答えは０になると思いますが、limを積分の中に入れる方法が見つかりません。あとは
∫f(x)sin(nx)dx→0(n→∞）をｆが定義関数の場合から初めて示すくらいしか証明が出てきませんしかもこれをするにはsinの中のaが邪魔だし。
もしうまい解法をご存知の方がいれば返信よろしくおねがいします。
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2：バルタン星人
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2010/08/08 (Sun) 17:33:31
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(1+x/n)^nがnについて単調増加である事は
正しいと思います、恐らく使ってもよい類の
不等式と思われますが、その場で証明できるのなら
した方が良いんだろうと思います。
(3)は、うーん、確かにとっても嫌な感じですね。
一見して、limの交換が収束定理から出来ない場合は、
比較的すぐに諦めて、個々のケースに応じた方法を
模索していかないと自爆する可能性が経験上非常に高いです。
以前から話題には出ていましたが、正則関数などと
比べると実関数は非常に広いクラスなので、収束定理を
使えば出来る順序交換は、実際にはあまり広くないのでしょう。
小回りが利く分、問題の処理はケースバイケースになりがち。
大雑把に書きます。この場合はsinを加法定理で
分解すると、sin(a)の方は留数定理で計算出来、
a≠0ならば発散する事が分ります。もう一方は
彌さんと言うとおり、リーマンルベーグの定理から
0に収束します。これで大体分ると思います。
∫f(x)sin(nx)dx→0(n→∞）についてですが、
積分区間の測度が無限大の場合を考えると
多分、台がコンパクトな関数については
部分積分するだけで良いんじゃないかと。
しかし、どちらにせよ厨密性は用いるでしょう。
aが邪魔ならば加法定理を使えばどかせます。
リーマンルベーグはもちろんcosについても成立するので。
ただリーマンルベーグは前提として良い定理だと思います。
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3：バルタン星人
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2010/08/08 (Sun) 17:37:27
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sin(a)の方は留数定理で計算出来、
a≠0ならば発散する事が分ります
これうそくさいですね。大体適当に解くので
うそ言ってる場合が多いです。
どっちも0に行きますかね。
まぁ何とかなるでしょう。
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4：バルタン星人
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2010/08/08 (Sun) 18:35:26
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0ですね。
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5：弥の旧字体
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2010/08/08 (Sun) 21:04:47
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なるほど加法定理か…うっかりしていました。積分で三角関数を使うときというのは案外高校時代の公式を使うことが多いですね。
後（１）ですが後々出てきたのですが、(1+x/n)^nはｘが負でｎが偶数の時は不等号は嘘ですね。まあ今回は積分範囲が非負なので問題はないですが。(1+x/n)^nの単調増加性は考えたんですが出ていません。