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1：バルタン星人
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2010/07/28 (Wed) 16:39:19
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面白い問題があったので置いときます。
A^5=2E_n E_n:単位行列
を満たす有理数成分のn次正方行列が存在するための
nについての必要十分条件を求めよ。
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2：弥の旧字体
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2010/07/29 (Thu) 15:16:47
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とりあえず、Ａ＾5と２Ｅ_ｎの行列式を比べると、有理数の５乗と２のｎ乗になるから、２と５の既約性から、ｎは少なくとも５の倍数にならなくてはいけない(かな？)
あとは単位行列の可換性から、ＡだけでなくＡのジョルダン標準行列Ｊも５乗して２Ｅ_ｎになる。これより、Ｊは大きさが１のジョルダン細胞からのみ出来ていることも分かる。とうことはＪは対角成分が２の５乗根でそれ以外の成分は０
ということは、Ａの行列式は２のｎ/５乗。結局ｎが５の倍数というのが出ただけか。
これが条件かな？必要はこれで良いとして、十分はもしｎ＝５で例が出来たら後は、それの直和で任意のｎ（５の倍数の）で成立する。
例を考えてみるわ。
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3：弥の旧字体
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2010/07/29 (Thu) 15:56:00
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先の内容の補足と例（らしきもの）を
まず補足ですが、Ｊの対角成分が２の５乗根としましたが、これをもとにＡの固有多項式（（ｘ＾５－２）と有理数のみを因数にもつ）から２の５乗根５種類すべてを同じ数だけ成分としていることが分かり、そうするとＪ（Ａ）の行列式が２のｎ/５乗根になるか怪しかったのですが、確認したところちゃんとなりました。
後例ですが
02000
00100
00010
00001
10000
なんてのはどうでしょうか、とりあえず固有多項式が－（ｘ＾５－２）になることは確認しました。
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4：バルタン星人
:
2010/07/29 (Thu) 18:38:27
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それで合っていると思います。
僕はジョルダン標準形は使わなかったんですが、
使った方が結構簡単に出来ますね。
やはり行列の証明問題にはジョルダン標準形が
有効みたいですね。まあ、東工大の印紙に
出る可能性は余りないとは思いますが…
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5：バルタン星人
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2010/07/29 (Thu) 18:50:26
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固有多項式がx^5-2であれば、5個の相異なる
固有値を持ち従って対角化可能なので、
5乗すると2E_nになる。
なので固有多項式がx^5-2の有理数行列が
ある事を言えばよく、それは有理数体上の
25個の未知数に対する5個の聯立方程式を
解く事に等しいので、明らかに解が存在する、
と言えば具体的な行列を書かずとも良いと思います。
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6：弥の旧字体
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2010/07/29 (Thu) 20:10:35
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それは有理数体上の
25個の未知数に対する5個の聯立方程式を
解く事に等しい
そうなの？ それはちゃんと理解した方が良いことかな？
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7：バルタン星人
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2010/07/29 (Thu) 21:31:51
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ああそれは
det(A-xE)=x^5-2
をAの成分を未知数とする方程式を見なせば、係数比較
により有理数体上の5個の方程式になる事を言いました。
未知数はAなので、25個も変数があります。
かつ、どの係数部分にも、すべての変数が現れ、
恒等的に0になる事はないことを言えば良いかも？
少し微妙ですね、明らかに解けるんですが、解答として
満点に値する厳密性があるかといわれると困ります。
まぁ具体例を挙げられる事に越した事はないので、
こういう屁理屈は時間がない場合の逃げ道にした方が
良いかもしれません。
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8：バルタン星人
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2010/07/29 (Thu) 21:39:32
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＞かつ、どの係数部分にも、すべての変数が現れ、
現れないですね…。とにかく解ける事は一見して
明らかです。それを一言で言い表せる仕方がないですね。
未知数の数がやたら多いので、解けると言い切りたいですが、
一応、どんなに未知数が多くても、それが表面上多いだけで
実質的な未知数が非常に少ないような特殊な場合を
排除しないといけないので、これは意外と深刻な問題
かも知れないですね。
つまり100個の未知数X_1,x_2,…,x_100
に対する3個の方程式
x_1=0 x_1=1 x_2+x_3+x_99=0
は解けないです。困りましたね。
やはり、「実質的な未知数の数」とくに「個々の未知数
に課せられる制約の度合い」を示す、方程式系の構造
から定まる不変量が欲しいところです。
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9：弥の旧字体
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2010/07/30 (Fri) 15:39:37
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困りましたね。後今回の問題ですが、Ａを２５個の未知数として、五個の連立方程式を作り、それが、解をもつとしても、解の中に有理数からなる解があるかはまた謎、一個の方程式は５次となるので、複素数解が出てもおかしくはない。
またもし５*５の行列Ａに対してその固有多項式が４次以下になるＡの値は？
というのは解けない問題ですね。まあ固有多項式が４次以下になることはないですが。
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10：バルタン星人
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2010/07/30 (Fri) 19:08:25
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Ａを２５個の未知数として、五個の連立方程式を作り、それが、解をもつとしても、解の中に有理数からなる解があるかはまた謎
これもなんですが、一応行列式の性質から、
各変数の二乗以上のべきの項は現れ得ないので
四則演算が可能な有理数体上で、必ず解ける筈です。
もちろん一般には無理ですが。
ちなみに8/1～8/5の間は諸事情でネットが出来ません。