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1：弥の旧字体
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2010/07/19 (Mon) 17:25:11
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平成１１年度専門[１]の解答が出来たのでご指摘いただけたら幸いです。位数1998が可解群になるというものですが、列は位数でみると1998▷999（＝37*27）▷27▷3▷1というものになりますシローを使って位数37の群（Ｎ）と位数27の群（Ｈ）が正規であることがわかり、そこから位数999の群ＮＨも正規であることが分かる。しかも1998の999による剰余群の位数は2つまりアーベル群
シロー使って位数999の群に対して位数27の群も正規でこの二つによる剰余群がの位数が37（素数）よりアーベル
次に位数27の群には必ず位数3の部分群があるが、平成１０年度の専門の問3より位数３の群は正規で剰余群も位数が9（3＾2）よりアーベル
という感じで可解であることが分かりましたが、
未だ平成１０年度の専門の問３が分かっていません。これの解答も合わせて教えていただけると助かります。
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2：バルタン星人
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2010/07/19 (Mon) 21:01:26
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シローの定理とともに、可解群については以下の命題が
有用です。
Gが可解群⇔G/H及びHが可解群
この問題では、与えられた群Gの可解性を見る代わりに、
位数37の群NとG/Nの可解性を見ると良いと思います。
Nの可解性は明らかですし、G/Nの可解性もシローの定理
で簡単に出てきます。
10年度の問い3について：指数pの群をHとして、GのHに
よる右剰余類分解を
G＝H+a_1H+a_2H+…+a_p-1H とします。
a_1が生成する巡回群の位数は仮定からpを約数に持つので
位数pの元b∈〈a_1〉を取る事が出来、この時
G=H+bH+b^2H+…+b^(p-1)H となるので
剰余類G/HにはGから誘導される群演算が有効であり、
その演算によって群になっているので、
Hは正規でなければならないのではないでしょうか。
ちょっとこれは問題をパッと見た段階での思いつきを
書いているので正しいかどうかは分りません。
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3：バルタン星人
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2010/07/19 (Mon) 21:06:52
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これは意味不明な事言ってますね。
もう少しちゃんと考えてみます。
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4：バルタン星人
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2010/07/19 (Mon) 21:38:46
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大学院入試問題集を見ていたら同じ問題があったので
明日書きます。今日はもう眠くて死にそうなので寝ます。
やっぱり代数は苦手ですねぇ。
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5：バルタン星人
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2010/07/20 (Tue) 08:21:53
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剰余類の置換による群の表現を利用するそうです。
左剰余類の集合
Ω＝{Hg|g∈G} に対して、群Gの作用を
G×Ω∋(x,Hg)→(Hgx)∈Ω により定めます。
今の場合Ωはp個の元の集合なので、これにより
Gからp次対称群への準同型φを得る。故に
φ(G)の位数はSpの位数p!の約数かつGの位数の約数
なのでpとなる。あと少し議論をすると
Kerφ＝H が示せるのでHは正規
だそうです。問題集によると
剰余類の置換による群の表現を利用するのは
「常識的手法」だそうです。確かシローの定理の証明に
この手法を用いている教科書を見た記憶はありますが
少なくとも今の教養の代数で、これを常識的という程までに
喧伝して応用した教科書があるのかは分りません。
一昔前と今では教える内容にも違いが出てきているので
あまり古い問題をやると精神衛生上良くないのでは？
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6：バルタン星人
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2010/07/20 (Tue) 08:32:17
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代数は余り深くやっていないので忘れていましたが、
結構一般的な手法みたいですね。教科書を引っ張りだしたら
普通に載ってますね。
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7：弥の旧字体
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2010/07/20 (Tue) 10:45:12
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バルタン星人さん返信ありがとうございます。とても参考になります。
ヘルダー連続等やっていない概念について聞かれたりしていますが、今の知識で解ける問題もありまし、根詰めてやってはいないので大丈夫です。心配かけてスミマセン。