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1：弥の旧字体
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2010/07/16 (Fri) 22:30:58
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過去問が平成１０年から２２年度までアップされましたが、今回は平成１０年の基礎についての質問があります。この基礎はどこまでの知識を使っていいと思う？問６は留数とルベーグの微分についての優収束定理を使わなければならないような気がするのですが…
そもそもその前にみなさん」は１６年度からやっている？それとも１０年度からやっている？
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2：バルタン星人
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2010/07/17 (Sat) 08:10:40
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留数やルベーグの収束定理を用いる必要は必ずしも
ないと思います。楽にはなりますが。
x^4+1＝(x^4+2x^2+1)-2x^2
＝(x^2+1)^2-2x^2
＝(x^2-√2x+1)(x^2+√2x+1)
この変形をしたあとは部分分数分解をしてlogの
形に持っていくのがx^4+1の典型的な求積法です。
微分可能性も、微分の定義式を持ってきて、
中身を微分した式との差をとり、その被積分関数が
0に一様収束する事を見れば出来ます。
東大の教養問題でも留数計算は良く出てくるので、
別に大丈夫だとは思います。ただ、この問題は
明らかに求積法の出来る問題でありかつ教養問題
なので、出題者の意図がどうなのかは不明です。
解ければ良いのではないでしょうか。
東工大の過去問はまだ余りやっていません。
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3：バルタン星人
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2010/07/17 (Sat) 11:25:51
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確かに1/(x^4+1)は解き方を知らないとその場で
思いつくのは難しいかも知れないですね。
擬楕円積分のような定積分の計算は出さないと思いますし、
その場合は留数を使った方が無難でしょう。
例えばこんな擬楕円積分の問題はどうでしょう？
(x^2-1)/(x^2+x+1)√(x^4+4x^3+4x^2+4x+1)
の不定積分を求めよ。
実際に、大学一年の物理の演習で、一様な質量分布を持つ
四角形の板が、その中心を通る直線の或る一点上に作用する
重力の大きさを計算する時に、力づくでやろうとすると
確かこのような擬楕円積分に近いものが出てきましたね。
私は擬楕円積分の典型的な変換x=u+u^-1 とその微分の式
を覚えていたので力づくで計算してしまいましたが。
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4：弥の旧字体
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2010/07/17 (Sat) 13:35:39
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返信ありがとうございます。
問５の内容が多様体上のＣ＾∞級の定義を知らないといけない問題だったので、多分留数を使っても言いだろうと思いました。まだ余りしていないということはバルタン星人さんは他大の過去問とかをやっているの？
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5：バルタン星人
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2010/07/17 (Sat) 15:28:07
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東大と京大の問題を印刷して持ってはいますが、
東大の問題しかやってないですね。
京大は印刷しただけで放置、たださらっと
見渡した感じでは、東大の方が難しそうに
見えます。
京大も東工大と同じように微分幾何の問題が
ないんですよね。東大はあるのに。
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6：バルタン星人
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2010/07/17 (Sat) 15:31:31
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正直なところそれほど因子問題には手をつけてません。
明日から本気を出す…
かも知れません。
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7：sector
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2010/07/17 (Sat) 16:35:22
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俺も迷いましたが、留数やルベーグ積分を使ってもだめではないと思います。東大では基礎で出題されるとありますが、募集要項には基礎問題の範囲に関数論が含まれています。
東工大の平成１０年度に関しては、問６自体が選択問題なので、ルベーグを知らなくても大丈夫だと思いますし、むしろ解析系なら積極的に解くべき？問題ではないかと。
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8：弥の旧字体
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2010/07/17 (Sat) 23:04:20
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バルタン星人さんsectorさん返信ありがとうございます。
平成１０年は専門の問題（特に代数）が難しいの多く、今年の院試がこのレベルでないのを祈ります。少なくとも私は…