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1：弥の旧字体
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2010/07/11 (Sun) 16:53:50
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平成１９年度専門[１]の解答書きます。添削していただけたら幸いです。
（１）Ｖは位数２で偶数個の互換から作られるもの全体ということに気づけばg^-1hg（ｇはＳ４のｈはＶの元）も位数２で偶数個の互換からなることがわかり、正規となることが分かる。 別解として総当たりという方法もある。
（２）Ｓ４/Ｖの各元の代表元にＳ３の元（４を動かさない変換）がとれること。Ｓ３の元同士が同値でないことを確認して終わり。
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2：バルタン星人
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2010/07/11 (Sun) 18:13:59
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(1)その方法でも可能ですが、任意の置換が互換の積に
掛ける事、及びその積の数の偶奇が分解の仕方に依存
しない事を仮定する必要があります。
どこまでを仮定してよいのかは、各自が問題文から
判断せねばなりませんが、応用問題と違いこの様な
基本的な問題に対してはなるべく定理を仮定せず、
定義から直接に導出する方が望ましいと私は思います。
(1)については
σ(ij)σ^-1=(σ(i)σ(j))
σ(ij)(kl)σ^-1=σ(ij)σ^-1σ(kl)σ^-1
を使うと直接証明出来ます。
そのような意味で(2)はそれ以外に方法は余りない
と思います。準同型定理などを使おうとすると
無駄に面倒になりますし、問題の趣旨から少し
外れているような気がします。
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3：弥の旧字体
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2010/07/11 (Sun) 22:11:10
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バルタン星人さんありがとうございます。
対称群の元が互換の積で書けることは示さないとダメかな？交代群という言葉もあるし、
また（２）は準同型写像は作れる？最初はそれ考えて作れなかったから。
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4：バルタン星人
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2010/07/12 (Mon) 07:58:21
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この位の定理は恐らく問題ないと思います。
ただ先に述べた理由もありますし、そもそも
基本的な問題の解答は常に基本的でなければ
ならないと思っている自分の考えでもあります。
準同型写像は作れない事もないでしょう。
ただし奇をてらった感じの否めない解答になると思います。
例えば、「S3は自然にS4に埋め込まれているが、
これはVと交わらない。かつ|S3・V|=24=|S4|より
S4=S3×V故にS4/V≅S3 (糸冬)」などはどうでしょうか。
私は仰々しくて好きになれない証明です。特に
ガロア理論を用いた五次方程式の代数的不可解性の
証明なんて最悪ですね、あれほど「問題」と「証明」
が解離したものはありません。あんな事をするなら
最初から証明なんてしなければいいと思いますよ。